এই পোস্টে West Bengal Board Class 8 এর গণিত প্রভা বইয়ের কষে দেখি ১.২ সম্পূর্ণ সমাধান দেওয়া হল। এখানে এমনভাবে বোঝানো হয়েছে যাতে যাদের গণিত একদম দুর্বল বা নতুন, তারাও বুঝতে পারে।
প্রশ্ন ১: চিত্রে কাঠির সংখ্যা বের করি
প্রথমে আমরা কোনো সূত্র মুখস্থ করব না। আগে দেখব, বুঝব, তারপর লিখব।
(ক)
চিত্র অনুযায়ী কাঠির সংখ্যা:
- ১ম চিত্র → 6 টি কাঠি
- ২য় চিত্র → 11 টি কাঠি
- ৩য় চিত্র → 16 টি কাঠি
ধাপ ১: কীভাবে সংখ্যা বাড়ছে দেখো
6 থেকে 11 → 5 টা বেড়েছে
11 থেকে 16 → আবার 5 টা বেড়েছে
👉 মানে, প্রতিবার 5 করে বাড়ছে
ধাপ ২: n মানে কী?
n মানে হল চিত্রের নম্বর
- n = 1 → প্রথম চিত্র
- n = 2 → দ্বিতীয় চিত্র
ধাপ ৩: নিয়ম বানাই
প্রথম চিত্রে আছে = 6 টি কাঠি
এরপর প্রতি চিত্রে = 5 টি করে বাড়ছে
তাই লিখি:
কাঠির সংখ্যা = প্রথম সংখ্যা + (চিত্র সংখ্যা − 1) × বাড়ার সংখ্যা
= 6 + (n − 1) × 5
ধাপ ৪: সহজ করি
= 6 + 5n − 5
= 5n + 1
উত্তর: n-তম চিত্রে কাঠির সংখ্যা = 5n + 1
(খ)
কাঠির সংখ্যা:
- ১ম → 7
- ২য় → 12
- ৩য় → 17
ধাপ ১: পার্থক্য দেখি
7 → 12 = +5
12 → 17 = +5
ধাপ ২: আগের মতোই নিয়ম
= 7 + (n − 1) × 5
= 7 + 5n − 5
= 5n + 2
উত্তর: 5n + 2
(গ)
কাঠির সংখ্যা:
- 5
- 9
- 13
ধাপ ১: পার্থক্য দেখি
5 → 9 = +4
9 → 13 = +4
ধাপ ২: সূত্র বসাই
= 5 + (n − 1) × 4
= 5 + 4n − 4
= 4n + 1
উত্তর: 4n + 1
প্রশ্ন ২: সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা
একটি সমবাহু ত্রিভুজ মানে – তিনটা বাহুই সমান
এক বাহু = (4y + 2)
ধাপ ১: পরিসীমা মানে কী?
সব বাহু যোগ করা
ধাপ ২: কয়টা বাহু?
3 টা
ধাপ ৩: হিসাব
পরিসীমা = 3 × (4y + 2)
= 12y + 6
উত্তর: 12y + 6
প্রশ্ন ৩: আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
দৈর্ঘ্য = (8x + 3y)
প্রস্থ = (8x − 3y)
ধাপ ১: সূত্র জানি
ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
ধাপ ২: বসাই
= (8x + 3y)(8x − 3y)
ধাপ ৩: সহজ সূত্র
(a + b)(a − b) = a² − b²
= (8x)² − (3y)²
= 64x² − 9y²
প্রশ্ন ৪: বর্গক্ষেত্র
এক বাহু = (3m − 4)
(ক) ক্ষেত্রফল
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = বাহু × বাহু
= (3m − 4)²
(খ) পরিসীমা 8 হলে m
পরিসীমা = 4 × বাহু
4(3m − 4) = 8
12m − 16 = 8
12m = 24
m = 2
প্রশ্ন ৫: নীচের ছক পূরণ করি
এই প্রশ্নে আমাদের তিনটি কাজ করতে হবে:
- যোগ করি → সব রাশি যোগ
- বিয়োগ করি → এক রাশি থেকে আরেকটি বিয়োগ
গুরুত্বপূর্ণ কথা:
x² শুধু x²-এর সাথেই যোগ বা বিয়োগ হবে।
y² শুধু y²-এর সাথে।
অন্যথায় কখনোই মিশবে না।
৫ (a)
(i) = x² + 2y²
(ii) = −8y² + 6x² + z²
যোগ করি: (i) + (ii)
ধাপ ১: পাশাপাশি লিখি
(x² + 2y²) + (−8y² + 6x² + z²)
ধাপ ২: বন্ধনী খুলে দিই
x² + 2y² − 8y² + 6x² + z²
ধাপ ৩: একই রাশি একসাথে করি
x² + 6x² = 7x²
2y² − 8y² = −6y²
ফলাফল:
7x² − 6y² + z²
বিয়োগ করি: (i) − (ii)
ধাপ ১: সূত্র লিখি
(x² + 2y²) − (−8y² + 6x² + z²)
ধাপ ২: বিয়োগ মানে চিহ্ন উল্টে যাবে
x² + 2y² + 8y² − 6x² − z²
ধাপ ৩: যোগ করি
x² − 6x² = −5x²
2y² + 8y² = 10y²
ফলাফল:
10y² − 5x² − z²
৫ (b)
(i) = 6a² + 2
(ii) = −3a² + 3a
(iii) = −2a + 3
(i) + (ii) + (iii)
ধাপ ১: সব একসাথে লিখি
(6a² + 2) + (−3a² + 3a) + (−2a + 3)
ধাপ ২: বন্ধনী খুলে দিই
6a² + 2 − 3a² + 3a − 2a + 3
ধাপ ৩: একই রাশি একত্র করি
6a² − 3a² = 3a²
3a − 2a = a
2 + 3 = 5
ফলাফল:
3a² + a + 5
(ii) − (i)
(−3a² + 3a) − (6a² + 2)
= −3a² + 3a − 6a² − 2
= −9a² + 3a − 2
(iii) − (i)
(−2a + 3) − (6a² + 2)
= −2a + 3 − 6a² − 2
= −6a² − 2a + 1
৫ (c)
(i) = 9m² − 2mn + n²
(ii) = m² + n²
(iii) = m² − 3mn − 2n²
(i) + (ii) + (iii)
9m² − 2mn + n² + m² + n² + m² − 3mn − 2n²
m²: 9 + 1 + 1 = 11m²
mn: −2mn − 3mn = −5mn
n²: n² + n² − 2n² = 0
ফলাফল:
11m² − 5mn
(i) − (ii)
(9m² − 2mn + n²) − (m² + n²)
= 9m² − 2mn + n² − m² − n²
= 8m² − 2mn
(ii) − (iii)
(m² + n²) − (m² − 3mn − 2n²)
= m² + n² − m² + 3mn + 2n²
= 3mn + 3n²
প্রশ্ন ৬: নীচের ছক দেখি ও লিখি
এই প্রশ্নে দুইটা কাজ আছে:
- গুণ করি → (i) × (ii)
- ভাগ করি → (i) ÷ (ii)
মনে রাখবে (খুব জরুরি):
গুণ করার সময় → সব গুণ
ভাগ করার সময় → এক এক করে ভাগ
৬ (a)
(i) = 9a³b² − 15a²b³
(ii) = 3ab
গুণ করি: (i) × (ii)
ধাপ ১: পুরো রাশিটাকে 3ab দিয়ে গুণ
(9a³b² − 15a²b³) × 3ab
ধাপ ২: আলাদা আলাদা গুণ করি
9a³b² × 3ab = 27a⁴b³
−15a²b³ × 3ab = −45a³b⁴
ফলাফল:
27a⁴b³ − 45a³b⁴
ভাগ করি: (i) ÷ (ii)
(9a³b² − 15a²b³) ÷ 3ab
ধাপ ১: আলাদা আলাদা ভাগ করি
9a³b² ÷ 3ab = 3a²b
−15a²b³ ÷ 3ab = −5ab²
ফলাফল:
3a²b − 5ab²
৬ (b)
(i) = x⁴ − 4x³ + 6x²
(ii) = x²
গুণ করি: (i) × (ii)
(x⁴ − 4x³ + 6x²) × x²
ধাপ ১: প্রতিটা পদে x² গুণ
x⁴ × x² = x⁶
−4x³ × x² = −4x⁵
6x² × x² = 6x⁴
ফলাফল:
x⁶ − 4x⁵ + 6x⁴
ভাগ করি: (i) ÷ (ii)
(x⁴ − 4x³ + 6x²) ÷ x²
ধাপ ১: এক এক করে ভাগ
x⁴ ÷ x² = x²
−4x³ ÷ x² = −4x
6x² ÷ x² = 6
ফলাফল:
x² − 4x + 6
৬ (c)
(i) = 3m²n³ + 40m³n⁴ − 5m⁴n⁵
(ii) = 10m²n²
গুণ করি: (i) × (ii)
(3m²n³ + 40m³n⁴ − 5m⁴n⁵) × 10m²n²
ধাপ ১: প্রতিটা পদের সাথে গুণ
3m²n³ × 10m²n² = 30m⁴n⁵
40m³n⁴ × 10m²n² = 400m⁵n⁶
−5m⁴n⁵ × 10m²n² = −50m⁶n⁷
ফলাফল:
30m⁴n⁵ + 400m⁵n⁶ − 50m⁶n⁷
ভাগ করি: (i) ÷ (ii)
(3m²n³ + 40m³n⁴ − 5m⁴n⁵) ÷ 10m²n²
ধাপ ১: এক এক করে ভাগ
3m²n³ ÷ 10m²n² = 3/10 n
40m³n⁴ ÷ 10m²n² = 4mn²
−5m⁴n⁵ ÷ 10m²n² = −1/2 m²n³
ফলাফল:
(3/10)n + 4mn² − (1/2)m²n³
৬ (d)
(i) = 49l² − 100m²
(ii) = 7l + 10m
গুণ করি: (i) × (ii)
ধাপ ১: সূত্র চিনে নিই
49l² − 100m² = (7l)² − (10m)²
ধাপ ২: গুণ
(49l² − 100m²)(7l + 10m)
= 343l³ − 700lm² + 490l²m − 1000m³
ভাগ করি: (i) ÷ (ii)
(49l² − 100m²) ÷ (7l + 10m)
ধাপ ১: সূত্র ব্যবহার
a² − b² = (a − b)(a + b)
= (7l − 10m)(7l + 10m)
ধাপ ২: ভাগ
= 7l − 10m
প্রশ্ন ৭: সরল করিঃ
এই প্রশ্নে আমাদের কাজ খুব সহজ:
- বন্ধনী খুলব
- একই অক্ষরগুলো একসাথে করব
- যেগুলো কেটে যাবে, কেটে দেব
কোনো কঠিন নিয়ম নেই।
৭ (i)
প্রদত্ত রাশি:
(a − b) + (b − c) + (c − a)
ধাপ ১: সব বন্ধনী খুলে লিখি
= a − b + b − c + c − a
ধাপ ২: একই অক্ষর খুঁজি
+a এবং −a → কেটে গেল
−b এবং +b → কেটে গেল
−c এবং +c → কেটে গেল
ধাপ ৩: কী রইল?
কিছুই রইল না
উত্তর: 0
৭ (ii)
প্রদত্ত রাশি:
(a + b)(a − b) + (b + c)(b − c) + (c + a)(c − a)
ধাপ ১: একটি খুব সহজ সূত্র জানি
(x + y)(x − y) = x² − y²
ধাপ ২: এক এক করে সূত্র বসাই
(a + b)(a − b) = a² − b²
(b + c)(b − c) = b² − c²
(c + a)(c − a) = c² − a²
ধাপ ৩: সব যোগ করি
= (a² − b²) + (b² − c²) + (c² − a²)
ধাপ ৪: কাটাকাটি করি
+a² এবং −a² → কেটে গেল
−b² এবং +b² → কেটে গেল
−c² এবং +c² → কেটে গেল
ধাপ ৫: কী রইল?
কিছুই না
উত্তর: 0
প্রশ্ন ৭ (iii): সরল করিঃ
প্রদত্ত রাশি:
x² × (x/y − y/x) × (y/x + x/y) × y²
ভয় পাওয়ার কিছু নেই। আমরা একদম ধাপে ধাপে করব।
ধাপ ১: ভগ্নাংশ দুটো ঠিকভাবে লিখি
x/y − y/x = (x² − y²) / (xy)
y/x + x/y = (y² + x²) / (xy)
👉 কারণ: ভগ্নাংশ যোগ-বিয়োগ করতে হলে হর এক করতে হয়।
ধাপ ২: এখন পুরো রাশিটা লিখি
x² × (x² − y²)/(xy) × (y² + x²)/(xy) × y²
ধাপ ৩: উপরের সংখ্যা একসাথে করি
উপরে আছে:
x² × (x² − y²) × (x² + y²) × y²
নিচে আছে:
xy × xy = x²y²
ধাপ ৪: উপরের ও নিচের একই জিনিস কাটাকাটি করি
উপরে x² আছে, নিচে x² আছে → কেটে গেল
উপরে y² আছে, নিচে y² আছে → কেটে গেল
ধাপ ৫: এখন কী রইল?
= (x² − y²)(x² + y²)
ধাপ ৬: খুব সহজ সূত্র ব্যবহার করি
(a − b)(a + b) = a² − b²
এখানে,
a = x²
b = y²
ধাপ ৭: সূত্র বসাই
= (x²)² − (y²)²
= x⁴ − y⁴
চূড়ান্ত উত্তর
x⁴ − y⁴
প্রশ্ন ৭: সরল করিঃ
এই প্রশ্নে আমাদের কাজ:
- বন্ধনী খুলব
- একই রাশিগুলো একসাথে করব
- যেগুলো কেটে যাবে, কেটে দেব
৭ (iv)
প্রদত্ত রাশি:
a(b − c) + b(c − a) + c(a − b)
ধাপ ১: সব বন্ধনী খুলে লিখি
= ab − ac + bc − ab + ca − bc
ধাপ ২: কাটাকাটি করি
+ab এবং −ab → কেটে গেল
−ac এবং +ca → কেটে গেল
+bc এবং −bc → কেটে গেল
উত্তর: 0
৭ (v)
প্রদত্ত রাশি:
x²(y² − z²) + y²(z² − x²) + z²(x² − y²)
ধাপ ১: সব গুণ করি
= x²y² − x²z² + y²z² − y²x² + z²x² − z²y²
ধাপ ২: একই রাশি খুঁজি
x²y² এবং −y²x² → কেটে গেল
−x²z² এবং +z²x² → কেটে গেল
+y²z² এবং −z²y² → কেটে গেল
উত্তর: 0
৭ (vi)
প্রদত্ত রাশি:
(x³ + y³)(x³ − y³) + (y³ + z³)(y³ − z³) + (z³ + x³)(z³ − x³)
ধাপ ১: খুব সহজ সূত্র ব্যবহার করি
(a + b)(a − b) = a² − b²
ধাপ ২: এক এক করে সূত্র বসাই
(x³ + y³)(x³ − y³) = x⁶ − y⁶
(y³ + z³)(y³ − z³) = y⁶ − z⁶
(z³ + x³)(z³ − x³) = z⁶ − x⁶
ধাপ ৩: সব যোগ করি
= (x⁶ − y⁶) + (y⁶ − z⁶) + (z⁶ − x⁶)
ধাপ ৪: কাটাকাটি
+x⁶ এবং −x⁶ → কেটে গেল
+y⁶ এবং −y⁶ → কেটে গেল
+z⁶ এবং −z⁶ → কেটে গেল
উত্তর: 0
প্রশ্ন ৮: বর্গ করি
এখানে আমরা শুধু এই দুইটি অভেদ ব্যবহার করব:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²
৮ (i)
(5x − 2y)²
= (5x)² − 2×5x×2y + (2y)²
= 25x² − 20xy + 4y²
৮ (ii)
(7 + 2m)²
= 7² + 2×7×2m + (2m)²
= 49 + 28m + 4m²
৮ (iii)
(x + y + z)²
প্রথমে মনে রাখি:
(x + y + z)² = x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zx
উত্তর:
x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zx
৮ (iv)
(a + b − c − d)²
ধাপ ১: এটাকে দুই ভাগে ভাবি
= (a + b − (c + d))²
ধাপ ২: সূত্র ব্যবহার করি
= (a + b)² − 2(a + b)(c + d) + (c + d)²
ধাপ ৩: এক এক করে বিস্তৃত করি
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(c + d)² = c² + 2cd + d²
−2(a + b)(c + d) = −2ac − 2ad − 2bc − 2bd
চূড়ান্ত উত্তর:
a² + b² + c² + d² + 2ab + 2cd − 2ac − 2ad − 2bc − 2bd
9. (a+b)2 =a2+2ab +b2 এবং (a-b)2 = a2-2ab+b2 – এই অভেদগুলি ব্যবহার করে নীচের সংখ্যামালাগুলি পূর্নবর্গাকারে প্রকাশ করিঃ
আমরা এই দুটি অভেদ ব্যবহার করব:
- (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
- (a − b)2 = a2 − 2ab + b2
i) 9x2 + 9 / 25y2 − 18x / 5y
ধাপ ১: পদগুলো সাজাই
= 9x2 − 18x / 5y + 9 / 25y2
ধাপ ২: লক্ষ্য করি
- 9x2 = (3x)2
- 9 / 25y2 = (3 / 5y)2
- মাঝের পদ = −2 × 3x × 3/5y
পূর্ণবর্গ:
(3x − 3/5y)2
ii) 25m2 − 70mn + 49n2
ধাপ ১: আলাদা করে দেখি
- 25m2 = (5m)2
- 49n2 = (7n)2
- −70mn = −2 × 5m × 7n
পূর্ণবর্গ:
(5m − 7n)2
iii) (2a − b)2 + (4a − 2b)(a + b) + (a + b)2
ধাপ ১: অংশগুলো খুলে লিখি
(2a − b)2 = 4a2 − 4ab + b2
(4a − 2b)(a + b) = 4a2 + 2ab − 2b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
ধাপ ২: সব যোগ করি
= 9a2
পূর্ণবর্গ:
(3a)2
প্রশ্ন (iv)
পূর্ণবর্গাকারে প্রকাশ করো:
p2/q2 + q2/p2 − 2
ধাপ ১: প্রথম ও শেষ পদ লক্ষ্য করি
আমরা দেখি,
p2/q2 = (p/q)2
q2/p2 = (q/p)2
অর্থাৎ প্রথম ও শেষ পদ দুটি বর্গ।
ধাপ ২: মাঝের পদ বিশ্লেষণ করি
মাঝের পদ = −2
আমরা জানি,
−2 = −2 × (p/q) × (q/p)
ধাপ ৩: অভেদের সঙ্গে মিলাই
প্রদত্ত অভেদ:
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
এখানে,
a = p/q এবং b = q/p
চূড়ান্ত উত্তর
(p/q − q/p)2
অভেদ চিনে নিলে পূর্ণবর্গ করা খুব সহজ হয়ে যায়।
১০. নীচের সংখ্যামালাকে দুটি বর্গের অন্তর রূপে প্রকাশ করিঃ
আমরা জানি,
(a+b)(a−b) = a2 − b2
(i) 391 × 409
ধাপ ১: মধ্য সংখ্যা নিই
391 = 400 − 9
409 = 400 + 9
ধাপ ২: সূত্র প্রয়োগ করি
391 × 409 = (400 − 9)(400 + 9)
= 4002 − 92
(ii) (4x + 3y)(2x − 3y)
ধাপ ১: রাশিটিকে (a+b)(a−b) আকারে সাজাই
(4x + 3y)(2x − 3y)
= (3x + (x+3y))(3x − (x+3y))
ধাপ ২: সূত্র প্রয়োগ করি
এখানে,
a = 3x, b = (x+3y)
= (3x)2 − (x+3y)2
(iii) x
এখানে শুধুমাত্র x আছে, তাই আমরা ১ নিই।
ধাপ ১: ১ যোগ ও বিয়োগ করি
x = x + 1 − 1
ধাপ ২: দুটি বর্গের অন্তর আকারে লিখি
x = ((x+1)/2)2 − ((x−1)/2)2
১১. উৎপাদকে বিশ্লেষণ করিঃ
মনে রাখার সূত্র
- a² − b² = (a − b)(a + b)
- x² + 2x + 1 = (x + 1)²
- একই গুণনীয়ক থাকলে আগে বাইরে বার করতে হবে
(i) 225m² − 100n²
= (15m)² − (10n)²
= (15m − 10n)(15m + 10n)
(ii) 25x² − 1/9 y²z²
= (5x)² − (1/3 yz)²
= (5x + 1/3 yz)(5x − 1/3 yz)
(iii) 7ax² + 14ax + 7a
= 7a(x² + 2x + 1)
= 7a(x + 1)²
= 7a(x + 1)²
(iv) 3x⁴ − 6x²a² + 3a⁴
= 3(x⁴ − 2x²a² + a⁴)
= 3(x² − a²)²
= 3(x² − a²)²
(v) 4b²c² − (b² + c² − a²)²
= (2bc)² − (b² + c² − a²)²
= (2bc − b² − c² + a²)(2bc + b² + c² − a²)
(vi) 64ax² − 49a(x − 2y)²
= a[(8x)² − (7(x − 2y))²]
= a(8x − 7(x − 2y))(8x + 7(x − 2y))
(vii) x² − 9 − 4xy + 4y²
= (x − 2y)² − 3²
= (x − 2y − 3)(x − 2y + 3)
(viii) x² − 2x − y² + 2y
= (x − 1)² − (y − 1)²
= (x − y)(x + y − 2)
(ix) 3 + 2a − a²
= −(a² − 2a − 3)
= (3 − a)(a + 1)
(x) x⁴ − 1
= (x²)² − 1²
= (x − 1)(x + 1)(x² + 1)
(xi) a² − b² − c² + 2bc
= a² − (b − c)²
= (a − b + c)(a + b − c)
(xii) ac + bc + a + b
= a(c + 1) + b(c + 1)
= (a + b)(c + 1)
(xiii) x⁴ + x²y² + y⁴
= (x² + y²)² − (xy)²
= (x² + y² − xy)(x² + y² + xy)
১২. সূত্রের সাহায্যে গুণ করিঃ
ব্যবহৃত সূত্রসমূহ
- (a + b)(a − b) = a² − b²
- (x + y + z)(x − y + z) = (x + z)² − y²
(i) (xy + pq)(xy − pq)
এটি (a+b)(a−b) সূত্রের আকারে আছে
= (xy)² − (pq)²
= x²y² − p²q²
(ii) 49 × 51
= (50 − 1)(50 + 1)
= 50² − 1²
= 2500 − 1 = 2499
(iii) (2x − y + 3z)(2x + y + 3z)
এখানে y-এর চিহ্ন আলাদা, তাই সূত্র ব্যবহার করি
= (2x + 3z)² − y²
= 4x² + 12xz + 9z² − y²
= 4x² + 12xz + 9z² − y²
(iv) 1511 × 1489
= (1500 + 11)(1500 − 11)
= 1500² − 11²
= 2250000 − 121
= 2249879
(v) (a − 2)(a + 2)(a² + 4)
প্রথম দুইটি গুণ করি
= (a² − 4)(a² + 4)
= (a²)² − 4²
= a⁴ − 16
(vi) (a + b − c)(b + c − a)
রূপান্তর করি
= (b + (a − c))(b − (a − c))
= b² − (a − c)²
= b² − (a² − 2ac + c²)
= b² − a² + 2ac − c²
১৩. (a) প্রমাণ করো
দেওয়া আছে,
x + 1/x = 4
দেখাতে হবে,
(i) x² + 1/x² = 14
(ii) x⁴ + 1/x⁴ = 194
ধাপ ১: x² + 1/x² নির্ণয়
আমরা জানি,
(x + 1/x)² = x² + 2 + 1/x²
দেওয়া মান বসাই:
(4)² = x² + 2 + 1/x²
16 = x² + 2 + 1/x²
⇒ x² + 1/x² = 16 − 2
= 14
অতএব,
x² + 1/x² = 14 ✔
ধাপ ২: x⁴ + 1/x⁴ নির্ণয়
আমরা জানি,
(x² + 1/x²)² = x⁴ + 2 + 1/x⁴
এখন ধাপ ১ থেকে পাওয়া মান বসাই:
(14)² = x⁴ + 2 + 1/x⁴
196 = x⁴ + 2 + 1/x⁴
⇒ x⁴ + 1/x⁴ = 196 − 2
= 194
অতএব,
x⁴ + 1/x⁴ = 194 ✔
চূড়ান্ত সিদ্ধান্ত
- x² + 1/x² = 14
- x⁴ + 1/x⁴ = 194
প্রমাণিত।
১৩. (b) প্রমাণ করো
দেওয়া আছে,
m + 1/m = −5
দেখাতে হবে,
m² + 1/m² = 23
সমাধান
দেওয়া আছে,
m + 1/m = −5
উভয়পক্ষকে বর্গ করি,
(m + 1/m)² = (−5)²
⇒ m² + 2·m·(1/m) + (1/m)² = 25
⇒ m² + 2 + 1/m² = 25
⇒ m² + 1/m² = 25 − 2
= 23
অতএব,
m² + 1/m² = 23 ✔
[প্রমাণিত]
১৩. (c) দেওয়া আছে
p − 1/p = m
দেখাতে হবে,
(i) p² + 1/p² = m² + 2
(ii) (p + 1/p)² = m² + 4
(i) প্রমাণ করো: p² + 1/p² = m² + 2
দেওয়া আছে,
p − 1/p = m
উভয়পক্ষকে বর্গ করি,
(p − 1/p)² = m²
⇒ p² − 2·p·(1/p) + (1/p)² = m²
⇒ p² − 2 + 1/p² = m²
⇒ p² + 1/p² = m² + 2
[প্রমাণিত]
(ii) প্রমাণ করো: (p + 1/p)² = m² + 4
দেওয়া আছে,
p − 1/p = m
আমরা জানি,
(p + 1/p)² = (p − 1/p)² + 4·p·(1/p)
⇒ (p + 1/p)² = m² + 4
[প্রমাণিত]
চূড়ান্ত সিদ্ধান্ত
- m² + 1/m² = 23
- p² + 1/p² = m² + 2
- (p + 1/p)² = m² + 4
১৩. (d) প্রমাণ করো
দেওয়া আছে,
(a + b) = 5 এবং (a − b) = 1
দেখাতে হবে,
8ab(a² + b²) = 624
সমাধান
আমরা জানি,
(a + b)² = a² + 2ab + b²
⇒ 5² = a² + 2ab + b²
⇒ a² + b² + 2ab = 25 ...(1)
আবার,
(a − b)² = a² − 2ab + b²
⇒ 1² = a² − 2ab + b²
⇒ a² + b² − 2ab = 1 ...(2)
(1) ও (2) যোগ করি,
⇒ 2(a² + b²) = 26
⇒ a² + b² = 13
(1) ও (2) বিয়োগ করি,
⇒ 4ab = 24
⇒ ab = 6
এখন,
8ab(a² + b²) = 8 × 6 × 13
= 624
[প্রমাণিত]
১৩. (e)
দেওয়া আছে,
x − y = 3 এবং xy = 28
নির্ণয় করো,
x² + y²
সমাধান
আমরা জানি,
(x − y)² = x² − 2xy + y²
⇒ 3² = x² − 2×28 + y²
⇒ 9 = x² + y² − 56
⇒ x² + y² = 9 + 56
= 65
১৪. দুটি বর্গের সমষ্টি রূপে প্রকাশ করিঃ
(a) 2(a² + b²)
= a² + b² + a² + b²
= (a + b)² + (a − b)²
(b) 50x² + 18y²
= 2(25x² + 9y²)
= (5x + 3y)² + (5x − 3y)²
(c) a² + b² + c² + d² + 2(ac − bd)
রাশি সাজাই,
= (a² + c² + 2ac) + (b² + d² − 2bd)
= (a + c)² + (b − d)²
= (a + c)² + (b − d)²
চূড়ান্ত সিদ্ধান্ত
- 8ab(a² + b²) = 624
- x² + y² = 65
- সব রাশি দুটি বর্গের সমষ্টি আকারে প্রকাশ করা হয়েছে
১৬. সমাধান করিঃ
(iv) x/4 − x/2 = 3½ − x/3
প্রথমে ভগ্নাংশ দূর করি।
৪, ২ ও ৩-এর ল.সা.গু = 12
উভয়পক্ষকে 12 দিয়ে গুণ করি,
⇒ 12(x/4) − 12(x/2) = 12(7/2) − 12(x/3)
⇒ 3x − 6x = 42 − 4x
⇒ −3x = 42 − 4x
⇒ −3x + 4x = 42
⇒ x = 42
উত্তর: x = 42
(v) 2x − 5{7 − (x − 6) + 3x} − 28 = 39
প্রথমে বন্ধনী খুলে লিখি,
7 − (x − 6) + 3x = 7 − x + 6 + 3x = 13 + 2x
এখন মূল সমীকরণে বসাই,
⇒ 2x − 5(13 + 2x) − 28 = 39
⇒ 2x − 65 − 10x − 28 = 39
⇒ −8x − 93 = 39
⇒ −8x = 39 + 93
⇒ −8x = 132
⇒ x = −16.5
উত্তর: x = −16.5
(vi) (x − 2)/3 + (x + 3)/4 = (x + 4)/5 + 15
৩, ৪ ও ৫-এর ল.সা.গু = 60
উভয়পক্ষকে 60 দিয়ে গুণ করি,
⇒ 20(x − 2) + 15(x + 3) = 12(x + 4) + 900
⇒ 20x − 40 + 15x + 45 = 12x + 48 + 900
⇒ 35x + 5 = 12x + 948
⇒ 35x − 12x = 948 − 5
⇒ 23x = 943
⇒ x = 41
উত্তর: x = 41
সংক্ষেপে উত্তর
- (iv) x = 42
- (v) x = −16.5
- (vi) x = 41
শেষ কথা
এই পোস্টটি বানানো হয়েছে তাদের জন্য যারা গণিতে একদম নতুন। এখানে কোনো শর্টকাট নেই, শুধু বোঝা।